L'effetto pelle nei conduttori cilindrici e rettangolari: correnti parassite e affollamento di corrente

Una corrente variabile nel tempo ha una distribuzione non uniforme attraverso l'area della sezione trasversale del conduttore. Per approssimare la resistenza alle alte frequenze di un conduttore, possiamo supporre che tutta la corrente scorra uniformemente in uno strato profondo una pelle appena sotto la superficie del conduttore. Questa approssimazione è effettivamente ottenuta per un caso speciale in cui il conduttore è un semispazio.

In pratica i conduttori reali hanno dimensioni finite e possono avere sezione circolare o rettangolare. La domanda da porsi è se i risultati ottenuti per un semispazio conduttivo possano essere applicati o meno ad altri tipi di filo.

Possiamo risolvere le equazioni di Maxwell per un buon conduttore per trovare la seguente equazione differenziale per la densità di corrente J:

$$\nabla ^2 J = j \omega \mu \sigma J$$

Se non hai familiarità con i concetti del calcolo vettoriale, il simbolo intimidatorio ∇2 (Del al quadrato) è chiamato operatore laplaciano. In parole povere, l'operatore laplaciano è una generalizzazione del concetto di derivata seconda in spazi con più di una dimensione. Esso è dato da:

$$\nabla ^2 = \frac{\partial^2 }{\partial x^2} + \frac{\partial^2 }{\partial y^2} + \frac{\partial^2 }{\partial z^2}$$

L'equazione 1 descrive la distribuzione della corrente in un buon conduttore. Vale sia per un semispazio conduttivo che per un filo a sezione circolare. Tuttavia, le soluzioni che otteniamo per questi due tipi di media sono completamente diverse. Per un semispazio conduttivo, la densità di corrente è una semplice funzione sinusoidale che decade esponenzialmente (se assumiamo di avere a che fare con un'onda piana). Ma che dire di un conduttore cilindrico?

Dalla tua esperienza in altri campi della fisica che coinvolgono una base cilindrica, potresti aver indovinato correttamente che la risposta all'equazione 1 dovrebbe includere le funzioni di Bessel quando il filo ha una sezione trasversale circolare. Questa non è una buona notizia per noi ingegneri che cerchiamo sempre di sviluppare un modello semplice per fenomeni diversi. Le funzioni di Bessel sono utili per modellare un'ampia gamma di problemi fisici, dalla conduzione del calore in un oggetto cilindrico alla descrizione delle vibrazioni di una sottile membrana circolare come la pelle di un tamburo. Tuttavia, possono essere difficili da visualizzare e ovviamente sono molto meno semplici di una semplice onda sinusoidale con decadimento esponenziale.

A causa della complessità di queste funzioni, non entreremo nei dettagli matematici dell'analisi e guarderemo solo i risultati presentati nel libro “Campi e onde nell'elettronica delle comunicazioni” di Simon Ramo. La Figura 1 mostra l'entità normalizzata della distribuzione di corrente attraverso la sezione trasversale di un filo tondo di 1 mm di diametro a quattro diverse frequenze.

Il parametro r0 nel grafico sopra indica il raggio del filo. Ad una frequenza (f) di 1 kHz, la profondità della pelle è circa 4,2 volte maggiore del raggio del conduttore (o equivalentemente r0/δ = 0,239). Come puoi vedere, la distribuzione attuale in questo caso è quasi uniforme.

All’aumentare della frequenza, la profondità della pelle diminuisce e il rapporto r0/δ aumenta da 0,239 a 1 kHz a 7,55 a 1 MHz. Si noti che anche per r0/δ=2,39, la densità di corrente al centro del filo è quasi la metà di quella sulla superficie del conduttore. Ciò non è coerente con la descrizione semplificata dell'effetto pelle secondo cui la densità di corrente si riduce a e-1=0,37 del suo valore superficiale ad una profondità di δ.

La Figura 2 confronta le distribuzioni di corrente effettive per r0/δ=2,39 e r0/δ=7,55 con la distribuzione che decade esponenzialmente della densità di corrente (che corrisponde alla propagazione delle onde in un semispazio conduttivo). Come puoi vedere, i risultati del caso semispaziale possono essere utilizzati per approssimare la distribuzione effettiva della corrente in un filo tondo solo se il raggio di curvatura del conduttore è molto maggiore della profondità della pelle.

Come regola pratica, se tutti i raggi di curvatura e gli spessori del conduttore sono almeno 3-4 volte maggiori della profondità della pelle, assumiamo che un dato conduttore assomigli ad un blocco semi-infinito. Finora in questa serie in due parti ci siamo basati sulla risoluzione delle equazioni di Maxwell per descrivere alcune delle caratteristiche più importanti dell'effetto pelle. Una visione più profonda (e forse più utile) di questo effetto può essere sviluppata osservando come la legge di induzione di Faraday può produrre correnti parassite all'interno del conduttore. Grazie a questa intuizione, possiamo comprendere meglio come si comportano le diverse interconnessioni.